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如何过图形上一点求切线方程式(2)(Finding an e

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发布于:2020-07-02

连结:如何过图形上一点求切线方程式(1)

接续〈如何过图形上一点求切线方程式(1)〉最后提出的问题,本文的目的就是介绍微积分如何解决这些难题。首先,我们必须澄清什幺是切线?不能再像过去诉诸图形直观,需要对「切线」这个概念赋予明确的定义。我们想要在图形上一点找到它的切线,因难之处在于我们需要相异两点才能决定直线,如何能用「切点」定义呢?当然,微积分为我们解决这个困难。

切线的定义

如图一,设 \(f(x)\) 为一函数,\(P(a,f(a))\) 是 \(y=f(x)\) 图形上一定点。
在 \(P\) 点附近找图形上异于 \(P\) 的一点 \(Q(x,f(x))\),连接 \(P,Q\) 可得一割线 \(PQ\)。
当 \(Q\) 点沿着图形以 \(Q_1,Q_2,\cdots\) 向 \(P\) 点趋近时,能得到一连串的割线 \(PQ_1,PQ_2,\cdots\)。
若 \(Q_n\) 沿着图形趋近 \(P\) 时,割线 \(PQ_n\) 的极限直线 \(L\) 存在﹐
则称直线 \(L\) 为 \(y=f(x)\) 图形上过 \(P\) 点的切线﹐并称 \(P\) 为切点。也就是说,

割线 \(PQ\xrightarrow{Q\rightarrow P}\)过 \(P\) 点的切线

如何过图形上一点求切线方程式(2)(Finding an e

图一

因此,透过极限的概念,就能利用割线 \(PQ\) 定义出切线。同样地,将割线 \(PQ\)的斜率取极限,自然就是切线的斜率。换言之

割线 \(PQ\) 斜率 \(\frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}}\xrightarrow{Q\rightarrow P}\) 过 \(P\) 点的切线斜率 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}}\)

事实上,当函数 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处及 \(a\) 附近有意义,且 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}}\) 存在时,我们称函数 \(f(x)\) 在 \(x=a\)处可微分。而这个极限称为 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处的导数,以符号 \(f'(a)\) 表示。

因此,函数 \(f(x)\) 图形过点 \((a,f(a))\) 的切线斜率就是导数 \(f'(a)\)。所以,只要会求导数,切线方程式的问题就轻鬆解决了。

举个例子,说明用微积分解切线问题

已知函数 \(y=x^3-3x^2+1\)

从问题(1)开始,想要求导数,可以由导数的定义着手

\(\begin{array}{ll}f'(2) &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{({x^3} – 3{x^2} + 1) – ( – 3)}}{{x – 2}}\\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} – 3{x^2} + 4}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x – 2)({x^2} – x – 2)}}{{x – 2}} \\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} – x – 2) = 0\end{array}\)

当然,若知道如何求导函数的话,也能微分求出导函数,再代入求导数。

\(y = f(x) = {x^3} – 3{x^2} + 1 \Rightarrow f'(x) = 3{x^2} – 6x \Rightarrow f'(2) = 3 \times {2^2} – 6 \times 2 = 0\)

求出导数后,问题(2)变得容易多了。由(1)知,过点 \(P(2,-3)\) 的切线斜率为 \(f'(2)=0\),因此,以 \(P\) 为切点的切线方程式为 \(y=-3\)。

最后,问题(3)求两图形的交点,就是解联立方程

\(\left\{ \begin{array}{l} y = {x^3} – 3{x^2} + 1\\ y = – 3 \end{array} \right. \\\Rightarrow {x^3} – 3{x^2} + 1 = – 3 \Rightarrow {(x – 2)^2}(x + 1) = 0\)
\(\Rightarrow x=2\) 或 \(x=-1\)。

所以还有另一个交点 \((-1,-3)\)。图形就如图二所示,这也再次说明切线不一定与图形只相交于一点。

如何过图形上一点求切线方程式(2)(Finding an e

图二

综合上述,本文想要说明:利用微积分的术语和概念,能清楚定义什幺是切线,并且求切线斜率就是求导数,这使得「过图形上一点求切线方程式」的问题成为微分的简单应用,有着标準的解决方案。

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