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如何过图形上一点求切线方程式(1)(Finding an e

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发布于:2020-07-02

给定一条曲线图形(通常可视为函数图形的一部份),如何求出过图形上一点的切线方程式?切线问题有着实际应用的对应。例如,运动物体在任意瞬间的运动方向,就是运动轨迹在那一点的切线方向。或是光学透镜设计需要求出曲面的法线,而法线与切线垂直;若能求出切线,也就决定法线。

这些都是十七世纪当时科学研究和应用的一部份,这些需求促动微积分技术的发展,经过众人的改进与演化,补强技术的理论,最终发展出微积分这一门优美又有威力的学问。静心想想,讨论「求切线方程式」问题一直是高中数学的主题之一,其解决方法的流变,颇有显现此种数学知识积累的过程。因此,本文特意将高中数学中相关题材蒐集讨论,以飨读者。

对于初学者而言,「图形 \(\Gamma\) 上一点 \(A\) 的切线 \(L\)」表示有一条直线 \(L\) 与图形 \(\Gamma\) 相切于一点 \(A\)。例如,图一所示,直线 \(L\) 与圆相切于圆上的点 \(A(3,2)\)。因此,直线 \(L\) 为圆上过 \(A(3,2)\) 点的切线。

然而,「相切」是什幺意思呢?其实没有明确的定义,通常诉诸图形直观,彼此心领神会,或是由求切线的过程归纳出「图形相切」=「图形相交于一点」的印象。若图形有好的几何性质,会让求切线的工作变得比较简单。比方说,圆的切线 \(L\) 会与过圆心和切点的直线 \(AC\) 相互垂直,由图一可知直线 \(AC\) 的斜率为 \(\frac{2-(-1)}{3-2}=3\),则切线 \(L\) 的斜率为 \(-\frac{1}{3}\),因此切线 \(L\) 的方程式为 \(y=-\frac{1}{3}(x – 3) +2 \Rightarrow y =-\frac{1}{3}x + 1\)。

如何过图形上一点求切线方程式(1)(Finding an e

图一

不过,若是图形没有几何性质可供利用,如抛物线、椭圆及双曲线等圆锥曲线,我们是藉由「图形交点的个数」等于「联立方程式解的个数」之性质,透过代数方式求出切线方程式。例如

求过抛物线 \(y=x^2\) 上一点 \((1,1)\)的切线方程式。

设直线 \(L\) 的方程式为 \(y=m(x-1)+1\)

考虑联立方程式 \(\left\{ \begin{array}{l} y = {x^2}\\ y = m(x – 1) + 1 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x^2} = mx – m + 1 \Rightarrow {x^2} – mx + (m – 1) = 0\)

由于相切,直线 \(L\) 与 \(y=x^2\) 交于一点,

表示二次方程式 \({x^2} – mx + (m – 1) = 0\) 有两相等实根,

所以判别式 \(D = {( – m)^2} – 4 \times 1 \times (m – 1) = 0 \Rightarrow {m^2} – 4m + 4 = 0 \Rightarrow {(m – 2)^2} = 0 \Rightarrow m = 2\)

故切线方程式 \(L\) 为 \(y = 2(x – 1) + 1 \Rightarrow y = 2x – 1\)。

若是图形方程式较为複杂,整个代数运算过程会让人苦不堪言。有兴趣的读者不妨试试下面这个问题

求过点 \((1,-3)\) 且与椭圆 \(2{x^2} + {y^2} – 3x – 2y – 7 = 0\) 相切的直线方程式。
(答:\(x-6y-13=0\))

此时,老师通常会课外补充所谓的「切线公式」来迴避计算的困难

过圆锥曲线 \(a{x^2} + c{y^2} + dx + ey + f = 0\) 上点 \(P(x_0,y_0)\) 的切线 \(L\) 方程式为

\(a{x_0}x + c{y_0}y + d(\frac{{{x_0} + x}}{2}) + e(\frac{{{y_0} + y}}{2}) + f = 0\)

附带一提:高中只讨论对称轴铅直或水平的圆锥曲线,故此处圆锥曲线的一般式没有 \(bxy\) 这一项。

如此一来,反而形成因应各式不同情形的各种公式纷纷出现的「军备竞赛」,造成不良的影响。因此,99课纲制订时乾脆将「圆锥曲线与直线的关係」这个主题直接删除,却造成99课纲中圆锥曲线这个单元不上不下的窘境。另外,诉诸直观之「图形相切」等于「图形相交于一点」的看法也受到挑战,如图二所示,

如何过图形上一点求切线方程式(1)(Finding an e

图二

直线 \(x=2\) 与图形 \(y=x^2\) 交于点 \((2,4)\),但 \(x=2\) 显然不是切线。这些问题都需要微积分的帮助才能得以解决,在下一篇文章〈如何过图形上一点求切线方程式(2)〉中,会有详尽的说明,敬请参考。

连结:如何过图形上一点求切线方程式(2)

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